Question

如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4．
（Ⅰ）证明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线AQ与PB所成的角；
（Ⅲ）求点P到平面QAD的距离．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）连接AC、BD，设AC∩BD=O．证明PQ⊥平面ABCD，只需说明P、O、Q三点在一条直线上，QO⊥平面ABCD即可；
（Ⅱ）直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，通过cos＜

AQ

，

PB

＞=

AQ • PB

| AQ |•| PB |

，求异面直线AQ与PB所成的角；
（Ⅲ）设

n

=(x，y，z)是平面QAD的一个法向量，利用d=

| PQ • n |

| n |

，求点P到平面QAD的距离．
法二：（Ⅰ）．取AD的中点M，连接PM，QM．要证PQ垂直平面ABCD，只需证明PQ垂直平面ABCD内的两条相交直线AD，AB即可．
（Ⅱ）．连接AC、BD设AC∩BD=O，．∠BPN（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角，利用余弦定理解三角形BPN，求出异面直线AQ与PB所成的角；
（Ⅲ）．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、过P作PH⊥QM于H，则PH⊥平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．解三角形PHQ即可．

解答：解法一：（Ⅰ）连接AC、BD，设AC∩BD=O．由P-ABCD与Q-ABCD
都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD．
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
由（Ⅰ），PQ⊥平面ABCD，
故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），Q（0，0，-2），B(0，2

2

，0)
所以

AQ

=(-2

2

，0，-2)，

PB

=(0，2

2

，-1)，
于是cos＜

AQ

，

PB

＞=

AQ • PB

| AQ |•| PB |

=

3

9

．
从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos

3

9

．
（Ⅲ）．由（Ⅱ），点D的坐标是（0，-2

2

，0），

AD

=(-2

2

，-2

2

，0)，

PQ

=(0，0，-3)，
设

n

=(x，y，z)是平面QAD的一个法向量，
由

n • AQ =0 n • AD =0

得

2 x+z=0 x+y=0

．
取x=1，得

n

=(1，-1，-

2

)．
所以点P到平面QAD的距离d=

| PQ • n |

| n |

=

3 2

2

．
解法二：（Ⅰ）．取AD的中点M，连接PM，QM．
因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM．从而AD⊥平面PQM．
又PQ?平面PQM，所以PQ⊥AD、同理PQ⊥AB，
所以PQ⊥平面ABCD、
（Ⅱ）．连接AC、BD设AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在
PQ上，从而P、A、Q、C四点共面．
取OC的中点N，连接PN．
因为

PO

OQ

=

1

2

，

NO

OA

=

NO

OC

=

1

2

，
所以

PO

OQ

=

NO

OA

，
从而AQ∥PN．∠BPN（或其补角）是异面直线AQ
与PB所成的角．连接BN，
因为PB=

OB2+OP2

=

(2 2 )2+1

=3．PN=

ON2+OP2

=

( 2 )2+1

=

3

BN=

OB2+ON2

=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

所以cos∠BPN=

PB2+PN2-BN2

2PB•PN

=

9+3-10

2×3× 3

=

3

9

．
从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos

3

9

．
（Ⅲ）．由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD、过P作PH⊥QM
于H，则PH⊥平面QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离．
连接OM，则OM=

1

2

AB=2=OQ．
所以∠MQP=45°，
又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=

3 2

2

．
即点P到平面QAD的距离是

3 2

2

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．