Question

（2008•奉贤区二模）如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AA₁=8．
（1）求异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小；（用反三角函数形式表示）
（2）若E是线段DD₁上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．

Answer 1

分析：（1）连接AC、AB₁，易知∠B₁CA为异面直线B₁C与A₁C₁所成角，在△B₁CA中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小；
（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥E-B₁BC的体积为定值，根据三棱锥E-B₁BC与三棱锥D-B₁BC同底等高可得结论．
第二种：提出问题：三棱锥E-ADC的体积在E点从点D运动到D₁过程中单调递增，根据三棱锥E-ADC的体积与DE成正比，可知V_E-ADC随着DE增大而增大可得结论．

解答：解：（1）如图，连接AC、AB₁，由AA1

∥

.

CC1，
知A₁ACC₁是平行四边形，则A1C1

∥

.

AC，
所以∠B₁CA为异面直线B₁C与A₁C₁所成角．-----（2分）
在△B₁CA中，AC=4

2

，AB1=B1C=4

5

，
则cos∠ACB1=

AC2+B1C2-AB12

2AC•B1C

=

10

10

，
所以∠ACB1=arccos

10

10

．----------（4分）

（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给（3分），有解答的再给（5分）．
而提出一些没有多大价值的问题则不给分．
若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．
第一种：
提出问题：证明三棱锥E-B₁BC的体积为定值．-----（3分）
问题解答：如图，因为DD₁∥平面B₁BCC₁，所以D₁D上任意一点到平面B₁BCC₁的距离相等，因此三棱锥E-B₁BC与三棱锥D-B₁BC同底等高，VE-B1BC=VD-B1BC．----------（3分）
而VD-B1BC=

1

3

•S△B1BC•DC=

1

3

×

1

2

×4×8×4=

64

3

，
所以三棱锥E-B₁BC的体积为定值

64

3

．----------（2分）
说明：1）若提出的问题为求三棱锥E-B₁BC的体积，则根据上述解答相应给分．
2）若在侧面B₁BCC₁上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．
若在侧面A₁ABB₁上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．
第二种：
提出问题：三棱锥E-ADC的体积在E点从点D运动到D₁过程中单调递增．-----（3分）
问题解答：因为VE-ADC=

1

3

•S△ADC•DE，知S_△ADC为定值，
则三棱锥E-ADC的体积与DE成正比，可知V_E-ADC随着DE增大而增大，又因为DE∈（0，8），----（3分）
即三棱锥E-ADC的体积在E点从点D运动到D₁过程中单调递增．-----（2分）
说明：1）若提出的问题是求三棱锥E-ADC的体积范围，也可相应给分．
解答：因为S_△ADC=8，而VE-ADC=

8

3

DE，DE∈（0，8），----（3分）
则VE-ADC∈(0，

64

3

)．----（2分）．

2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．
若在底面A₁B₁C₁D₁上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），
可相应给分．

点评：本题主要考查了异面直线所成角，以及体积的度量，同时考查了空间想象能力，以及发散性思维，属于中档题．