题目内容
已知数列中,
,
,
.
(1)求证:是等差数列;并求数列
的通项公式;
(2)假设对于任意的正整数、
,都有
,则称该数列为“
域收敛数列”. 试判断: 数列
,
是否为一个“
域收敛数列”,请说明你的理由.
(1)证明略 (2)是
解析:
(1)证明:因为,
所以,
;故
是等差数列.
由此可得,,
所以,
.
(2)解:由条件,可知
当,
;当
时,
,
.
令,则
所以,当时,
;
同理可得,当时,
;
即数列在
时递增;
时,递减;即
是数列
的最大项.
然而,因为的奇数项均为
,故
为数列
的最小项;
而,
,所以
,
故是数列
的最大项.
因此,对任意的正整数、
,
所以数列,
是一个“
域收敛数列”.
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