题目内容
已知数列ξ中,a1=0,an+1=
(n∈N*).
(1)计算a2,a3,a4;
(2)猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明.
1 | 2-an |
(1)计算a2,a3,a4;
(2)猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明.
分析:(1)依题意,由a1=0,an+1=
(n∈N*)即可求得a2,a3,a4;
(2)通过(1)可猜想an=
(n=1,2,3,…);下面用数学归纳法证明即可:先证当n=1时结论成立,再假设假设n=k时,结论成立,去证明当n=k+1时,等式也成立即可.
1 |
2-an |
(2)通过(1)可猜想an=
n-1 |
n |
解答:解:(1)a2=
,a3=
=
,同理可得a4=
…(3分)
(2)猜想an=
(n=1,2,3,…)…(6分)
证明:①当n=1时,结论显然成立…(8分)
②假设n=k时,结论成立,即ak=
,
那么当n=k+1时,ak+1=
=
=
=
,
即当n=k+1时,等式成立.
由①②知,an=
对一切自然数n都成立.…(13分)
1 |
2 |
1 |
2-a2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
(2)猜想an=
n-1 |
n |
证明:①当n=1时,结论显然成立…(8分)
②假设n=k时,结论成立,即ak=
k-1 |
k |
那么当n=k+1时,ak+1=
1 |
2-ak |
1 | ||
2-
|
k |
k+1 |
(k+1)-1 |
k+1 |
即当n=k+1时,等式成立.
由①②知,an=
n-1 |
n |
点评:本题考查数列的递推式,考查归纳猜想,着重考查数学归纳法,考查推理与证明,属于难题.

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