题目内容

已知数列ξ中,a1=0,an+1=
12-an
(n∈N*).
(1)计算a2,a3,a4
(2)猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明.
分析:(1)依题意,由a1=0,an+1=
1
2-an
(n∈N*)即可求得a2,a3,a4
(2)通过(1)可猜想an=
n-1
n
(n=1,2,3,…);下面用数学归纳法证明即可:先证当n=1时结论成立,再假设假设n=k时,结论成立,去证明当n=k+1时,等式也成立即可.
解答:解:(1)a2=
1
2
,a3=
1
2-a2
=
2
3
,同理可得a4=
3
4
…(3分)
(2)猜想an=
n-1
n
(n=1,2,3,…)…(6分)
证明:①当n=1时,结论显然成立…(8分)
②假设n=k时,结论成立,即ak=
k-1
k

那么当n=k+1时,ak+1=
1
2-ak
=
1
2-
k-1
k
=
k
k+1
=
(k+1)-1
k+1

即当n=k+1时,等式成立.
由①②知,an=
n-1
n
对一切自然数n都成立.…(13分)
点评:本题考查数列的递推式,考查归纳猜想,着重考查数学归纳法,考查推理与证明,属于难题.
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