Question

（2009•卢湾区二模）已知数列{a_n}的前n项和为A_n，且对任意正整数n，都满足：ta_n-1=A_n，其中t＞1为实数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n为杨辉三角第n行中所有数的和，即b_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ，B_n为杨辉三角前n行中所有数的和，亦即为数列{b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

An

Bn

的值．

Answer 1

分析：（1）涉及通项及前n项和，通常是再写一式，两式相减，进而可得相邻项之间的关系，从而利用数列为等比数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）分别求出前n项和为A_n，B_n，再求极限，注意分类讨论．

解答：解：（1）由已知ta_n+1-1=A_n+1，ta_n-1=A_n，相减得ta_n+1-ta_n=a_n+1，由t-1＞0得

an+1

an

=

t

t-1

，又ta₁-1=a₁，得a1=

1

t-1

，故数列{a_n}是一个以a1=

1

t-1

为首项，以q=

t

t-1

为公比的等比数列．（4分）
从而an=

1

t-1

•(

t

t-1

)n-1=

1

t

(

t

t-1

)nn∈N^*；                   （6分）
（2）An=tan-1=(

t

t-1

)n-1，（7分）
又b_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，故B_n=2（2ⁿ-1），（11分）
于是

lim

n→∞

An

Bn

=

lim

n→∞

( t t-1 )n-1

2n+1-2

，
当

t

t-1

=2，即t=2时，

lim

n→∞

An

Bn

=

1

2

，
当

t

t-1

＜2，即t＞2时，

lim

n→∞

An

Bn

=0，
当

t

t-1

＞2，即1＜t＜2时，

lim

n→∞

An

Bn

不存在．（14分）

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查等比数列的通项，考查数列的极限，关键是掌握涉及通项及前n项和，通常是再写一式，两式相减的方法．