题目内容

（矩阵与变换）求矩阵M=
12
21
的特征值及其对应的特征向量．
分析：先求出矩阵M的特征多项式，进而可求矩阵M的特征值．利用方程组可求相应的特征向量．
解答：解：矩阵M的特征多项式为f(λ)=
.
λ-1-2
-2λ-1
.
=（λ-1）（λ-1）-4=λ2-2λ-3．
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1和3．
当λ=-1时，联立
-2x-2y=0
-2x-2y=0
，解得x+y=0
所以矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为
1
-1
．
当λ=3时，联立
2x-2y=0
-2x+2y=0
，解得x=y
所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为
1
1
．
点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网A（选修4-1：几何证明选讲）
如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．
求证：DE2=DB•DA．
B（选修4-2：矩阵与变换）
求矩阵
21
12
的特征值及对应的特征向量．
C（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．
D（选修4-5：不等式选讲）
已知m＞0，a，b∈R，求证：(
a+mb
1+m
)2≤
a2+mb2
1+m
．
（“选修4-2矩阵与变换”）
已知y=f（x）的图象（如图1）经A=
.
ab
cd
.
作用后变换为曲线C（如图2）．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值．
（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=
.
33
cd
.
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
α1
=
.
1
1
.
，属于特征值1的一个特征向量为
α2
=
.
3
-2
.
．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
1
-1
，求矩阵A的逆矩阵A-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
π
2
)，直线l过点A且倾斜角为
π
4
，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求证：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=
33
cd
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
．
①求矩阵A；②求直线y=x+2在矩阵A的作用下得到的曲线方程．

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