Question

（2004•武汉模拟）（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，-

5

）且方向向量为

V

=(-2，

5

)的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又

AM

=2

MB

．
（1）求直线l方程；  
（2）求椭圆C长轴长取值的范围．

Answer 1

分析：（1）由条件：一条经过点（3，-

5

）且方向向量为

V

=(-2，

5

)，可得直线的斜率，进而可求直线l方程； 
（2）将直线与椭圆方程联立，利用

AM

=2

MB

．可得几何量之间的关系，借助于直线l交椭圆C于A、B两点，从而有判别式大于0，故可求椭圆C长轴长取值的范围．

解答：解：（1）直线l过点（3，-

5

）且方向向量为

V

=(-2，

5

)∴l方程为

x-3

-2

=

y+ 5

5

化简为：y=-

5

2

(x-1)…（4分）

（2）设直线y=-

5

2

(x-1)和椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1
交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），和x轴交于M（1，0）
由

AM

=2

MB

知y1=-2y2…（7分）
将x=-

2

5

y+1代入b2x2+a2y2=a2b2中得(

4

5

b2+a2)y2-

4

5

b2y+b2(1-a2)=0…①
由韦达定理知：

y1+y2= 4 5 b2 4 5 b2+a2 =-y2② y1•y2= b2(1-a2) 4 5 b2+a2 =-2 y 2 2 ③

由②²/③知：32b²=（4b²+5a²）（a²-1）…（10分）
化为4b2=

5a2(a2-1)

9-a2

…④
对方程①求判别式，且由△＞0，即△=(

4

5

b2)2-4(

4

5

b2+a2)•b2(1-a2)＞0
化简为：5a²+4b²＞5…⑤
由④式代入⑤可知：5a2+

5a2(a2-1)

9-a2

＞5，求得1＜a2＜9，
又椭圆的焦点在x轴上，则a²＞b²，由④知：4b2=

5a2(a2-1)

9-a2

＜4a2，结合1＜a＜3，求得1＜a＜

41

3

．
因此所求椭圆长轴长2a范围为(2，

2 41

3

)．

点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理可解．