题目内容
【题目】已知椭圆离心率为
,以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆O与直线
:
相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.
【答案】(1);(2)(0,1).
【解析】
(1)根据直线与圆相切的条件和椭圆的离心率可求得a,b,可得出椭圆的标准方程;
(2)设出直线的方程y=kx+m(m≠0),将直线的方程与椭圆的方程联立得出交点P,Q的坐标间的关系,再由直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,得出0<m2<2且m2≠1,表示出△OPQ的面积可求得△OPQ面积的取值范围.
(1)由直线:
与圆
相切得:
,由
得
,
又,
,
,
所以椭圆C的方程为;
(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,且x1+x2=,x1x2=
.
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,所以·
=
=k2,
即+m2=0,又m≠0,所以k2=
,即k=±
.
由Δ>0,及直线OP,OQ的斜率存在,得0<m2<2且m2≠1.
S△OPQ=|x1-x2||m|=
,
所以S△OPQ的取值范围为(0,1).
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【题目】有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
总计 |
已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为,则下列说法正确的是( )
A. 列联表中的值为30,
的值为35
B. 列联表中的值为15,
的值为50
C. 根据列联表中的数据,若按的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”
D. 根据列联表中的数据,若按的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”