题目内容
【题目】已知椭圆
经过点
，且离心率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若点
、
在椭圆上，且四边形
是矩形，求矩形的面积
的最大值.
【答案】（1）
（2）矩形
面积
的最大值为
.
【解析】
（1）由椭圆过点
，且离心率为
，得到
，
，进而可求出结果；
（2）先由题意知直线
不垂直于
轴，设直线
，联立直线与椭圆方程，设
，
，根据韦达定理和题中条件可求出
；再求出
的最大值即可得出结果.
解：（1）因为椭圆
经过点，且离心率为，
所以，，又因为
，
可解得
，
，焦距为
.
所求椭圆的方程为.
（2）由题意知直线不垂直于轴，可设直线，
由
得
，
设，，则
，
又因为
，
，
所以
化简可得
.
所以
设
，
，则
，
所以
.
令
，因为
所以
在
上单调递减，所以
.
设直线
与
轴交于点
，
因为矩形面积
所以矩形面积的最大值为.
此时直线
.
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