已知向量$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=.f(x)=($\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$)•$\overrightarrow{m}$．的最小正周期及单调递增区间,(2)当x∈[0.$\frac{π}{2}$]时.求f(x)的值域,的图象左移$\frac{3π}{8}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{3}{2}$），f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域；
（3）将f（x）的图象左移$\frac{3π}{8}$个单位后得g（x）的图象，求g（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值．

分析（1）利用数量积运算性质、和差公式与倍角公式可得：f（x）=（sinx+cosx）•sinx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）$．可得$T=\frac{2π}{2}$，由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤$2x-\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，解出即可得出单调区间．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，可得$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，可得$sin（2x-\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，即可得出f（x）的值域；
（3）将f（x）的图象左移$\frac{3π}{8}$个单位后得g（x）的图象，可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x，利用x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可得cos2x∈$[-\frac{1}{2}，1]$，即可得出．

解答解：（1）f（x）=（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$=（sinx+cosx）•sinx-$\frac{1}{2}$
=sin²x+sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{4}）$．
∴$T=\frac{2π}{2}$=π，
由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤$2x-\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{3π}{8}+kπ$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，
$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
∴$sin（2x-\frac{π}{4}）$∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$，
∴f（x）的值域为$[-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$；
（3）将f（x）的图象左移$\frac{3π}{8}$个单位后得g（x）的图象，
∴g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$sin[2（x+\frac{3π}{8}）-\frac{π}{4}]$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴cos2x∈$[-\frac{1}{2}，1]$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x∈$[-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
∴函数g（x）的最大值为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．