题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若,则
,
满足什么条件时,曲线
与
在
处总有相同的切线?
(2)当时,求函数
的单调减区间;
(3)当时,若
对任意的
恒成立,求
的取值的集合.
【答案】(1)且
,(2)当
时,函数
的减区间为
,
;
当时,函数
的减区间为
;当
时,函数
的减区间为
,
,(3)
.
【解析】
试题(1)根据导数几何意义分别求出曲线与
在
处的切线斜率,再根据两者相等得到
,
满足的条件,易错点不要忽视列出题中已知条件
,(2)求函数的单调减区间,一是求出函数的导数,二是判断对应区间的导数值符号.本题难点在于导数为零时根的大小不确定,需根据根的大小关系分别讨论单调减区间情况,尤其不能忽视两根相等的情况,(3)本题恒成立转化为函数
最小值不小于零,难点是求函数
的最小值时须分类讨论,且每类否定的方法为举例说明.另外,本题易想到用变量分离法,但会面临
问题,而这需要高等数学知识.
试题解析:(1),
,又
,
在
处的切线方程为
, 2分
又,
,又
,
在
处的切线方程为
,
所以当且
时,曲线
与
在
处总有相同的切线 4分
(2)由,
,
,
, 7分
由,得
,
,
当
时,函数
的减区间为
,
;
当时,函数
的减区间为
;
当时,函数
的减区间为
,
. 10分
(3)由,则
,
,
①当时,
,函数
在
单调递增,
又,
时,
,与函数
矛盾, 12分
②当时,
,
;
,
函数
在
单调递减;
单调递增,
(Ⅰ)当时,
,又
,
,与函数
矛盾,
(Ⅱ)当时,同理
,与函数
矛盾,
(Ⅲ)当时,
,
函数
在
单调递减;
单调递增,
,故
满足题意.
综上所述,的取值的集合为
. 16分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】共享单车的投放,方便了市民短途出行,被誉为中国“新四大发明”之一.某市为研究单车用户与年龄的相关程度,随机调查了100位成人市民,统计数据如下:
不小于40岁 | 小于40岁 | 合计 | |
单车用户 | 12 | y | m |
非单车用户 | x | 32 | 70 |
合计 | n | 50 | 100 |
(1)求出列联表中字母x、y、m、n的值;
(2)①从此样本中,对单车用户按年龄采取分层抽样的方法抽出5人进行深入调研,其中不小于40岁的人应抽多少人?
②从独立性检验角度分析,能否有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关.
下面临界值表供参考:
P( | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |