题目内容
（2013•泉州模拟）已知F（0，1）是中心在坐标原点O的椭圆C的一个焦点，且椭圆C的离心率e为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设：M（x1，y1）、N（x2，y2）为椭圆C上不同的点，直线MN的斜率为k1；A是满足
+
=λ
（λ≠0）的点，且直线OA的斜率为k2．
①求k1•k2的值；
②若A的坐标为（
，1），求实数λ的取值范围．
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设：M（x1，y1）、N（x2，y2）为椭圆C上不同的点，直线MN的斜率为k1；A是满足
| OM |
| ON |
| OA |
①求k1•k2的值；
②若A的坐标为（
| 3 |
| 2 |
分析：（I）依题意，可设椭圆C的方程为
+
=1（a＞b＞0），由c=1，e=
=
，a2=b2+c2，解出即可；
（II）解法一：①由M（x1，y1）、N（x2，y2）且k1存在，利用斜率计算公式和
+
=λ
，λ≠0且k2存在，可得k2=
，进而得到k1•k2，把M（x1，y1），N（x2，y2）椭圆方程，即可得到k1•k2的值；
②若A的坐标为(
，1)，则k2=
，利用①可得k1=-2．设直线MN：y=-2x+m（m∈R），与椭圆的方程联立得到根与系数的关系x1+x2=
．
由
+
=λ
，代入可得x1+x2=
λ，m=2λ．再利用△＞0，即可得到λ的取值范围．
解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈R），M（x1，y1）、N（x2，y2），得若m=0，则x1+x2=0，由A满足
+
=λ
（λ∈R，λ≠0），得xA=0，
由直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．与椭圆的方程联立可得，得到根与系数的关系，再利用满足
+
=λ
，及斜率的计算公式即可得出．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
（II）解法一：①由M（x1，y1）、N（x2，y2）且k1存在，利用斜率计算公式和
| OM |
| ON |
| OA |
| y2+y1 |
| x2+x1 |
②若A的坐标为(
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3m |
| 4 |
由
| OM |
| ON |
| OA |
| 3 |
| 2 |
解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈R），M（x1，y1）、N（x2，y2），得若m=0，则x1+x2=0，由A满足
| OM |
| ON |
| OA |
由直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．与椭圆的方程联立可得，得到根与系数的关系，再利用满足
| OM |
| ON |
| OA |
解答：解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为
+
=1（a＞b＞0），
由c=1，e=
=
，得a=2，
由b2=a2-c2，可得b2=3，
故椭圆C的方程为
+
=1．
（Ⅱ）解法一：①由M（x1，y1）、N（x2，y2）且k1存在，得k1=
，
由
+
=λ
，λ≠0且k2存在，得k2=
，
则k1•k2=
•
=
．
∵M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，∴
+
=1，
+
=1，
两式相减得
+
=0，
=-
，
∴k1•k2=-
．
②若A的坐标为(
，1)，则k2=
，由①可得k1=-2．
设直线MN：y=-2x+m（m∈R），
由
得16x2-12mx+3m2-12=0，
所以x1+x2=
．
∵
+
=λ
，∴x1+x2=
λ，m=2λ．
又由△=（-12m）2-4•16•（3m2-12）＞0，解得-4＜m＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈R），
若m=0，则x1+x2=0，
由A满足
+
=λ
（λ∈R，λ≠0），得xA=0，
∵直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．
由
得(4+3
)x2+6k1mx+3m2-12=0…（*）．
∵M（x1，y1）、N（x2，y2），∴x1+x2=-
．
∵y1+y2=k1（x1+x2）+2m，A满足
+
=λ
，
∴直线OA的斜率k2=
=k1+
=k1-
，
经化简得k1•k2=-
．
②若A的坐标为(
，1)，则k2=
，由①可得k1=-2．
∴方程（*）可化为16x2-12mx+3m2-12=0，
下同解法一．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
由c=1，e=
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
由b2=a2-c2，可得b2=3，
故椭圆C的方程为
| y2 |
| 4 |
| x2 |
| 3 |
（Ⅱ）解法一：①由M（x1，y1）、N（x2，y2）且k1存在，得k1=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
由
| OM |
| ON |
| OA |
| y2+y1 |
| x2+x1 |
则k1•k2=
| y2+y1 |
| x2+x1 |
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| ||||
|
∵M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，∴
| ||
| 4 |
| ||
| 3 |
| ||
| 4 |
| ||
| 3 |
两式相减得
| ||||
| 4 |
| ||||
| 3 |
| ||||
|
| 4 |
| 3 |
∴k1•k2=-
| 4 |
| 3 |
②若A的坐标为(
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
设直线MN：y=-2x+m（m∈R），
由
|
所以x1+x2=
| 3m |
| 4 |
∵
| OM |
| ON |
| OA |
| 3 |
| 2 |
又由△=（-12m）2-4•16•（3m2-12）＞0，解得-4＜m＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
解法二：①设直线MN：y=k1x+m（m∈R），
若m=0，则x1+x2=0，
由A满足
| OM |
| ON |
| OA |
∵直线OA的斜率k2存在，∴m≠0．
由
|
| k | 2 1 |
∵M（x1，y1）、N（x2，y2），∴x1+x2=-
| 6k1m | ||
4+3
|
∵y1+y2=k1（x1+x2）+2m，A满足
| OM |
| ON |
| OA |
∴直线OA的斜率k2=
| y1+y2 |
| x1+x2 |
| 2m |
| x1+x2 |
4+3
| ||
| 3k1 |
经化简得k1•k2=-
| 4 |
| 3 |
②若A的坐标为(
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
∴方程（*）可化为16x2-12mx+3m2-12=0，
下同解法一．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算等基础知识，考查分类讨论思想方法、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．
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