Question

【题目】已知数列{an}满足an+1= an2﹣ nan+1（n∈N*），且a1=3．
（1）计算a2 ， a3 ， a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并给出证明；
（2）求证：当n≥2时，ann≥4nn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，且a1=3．

∴a2=4，a3=5，a4=6

猜想an=n+2

证明：①当n=1时显然成立

②假设n=k时（k≥1）时成立，即ak=k+2

则n=k+1时，ak+1= =

=k+3即n=k+1时命题成立

综上可得，an=n+2

（2）

证明：①当n=1时显然成立

②假设n=k时（k≥1）时成立，即ak=k+2

则n=k+1时，ak+1= =

=k+3即n=k+1时命题成立

综上可得，an=n+2

证明：（2）∵an=n+2，n≥2

∴ =（n+2）n=

≥

≥5nn﹣2nn﹣1=4nn+nn﹣1（n﹣2）≥4nn，即证

【解析】（1）由 ，且a1=3，分别令 n=1，2，3即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可（2）由（1）可得an=n+2，从而有 =（n+2）n ， 利用二项式定理展开后即可证明
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．