Question

（2012•北海一模）过正四棱柱的底面ABCD中顶点A，作与底面成30°角的截面AB₁C₁D₁，截得的多面体如图，已知AB=1，B₁B=D₁D，则这个多面体的体积为（　　）

• A．

  6

  2

• B．

  6

  3

• C．

  6

  6

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：作D₁E∥DC，连接B₁D₁，B₁E，BD，则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱，分别求出两个棱锥与一个棱柱的体积，即可得多面体的体积

解答：解：作D₁E∥DC，连接B₁D₁，B₁E，BD，则几何体被分割成两个棱锥与一个棱柱，如图：
∵截面AB₁C₁D₁与底面成30°的二面角，∴∠CAC₁=30°，
∵AB=1，∴AC=

2

，CC₁=ACtan30°=

2

×

3

3

=

6

3

∵截面AB₁C₁D₁为平行四边形，∴AC₁与B₁D₁的交点为AC₁的中点
∴B₁B=D₁D=

1

2

CC₁=

6

6

∴VA-BDD1B1=

1

3

×

2

×

6

6

×

2

2

=

6

18

VBDC-B1D1C1=

1

2

×

6

6

=

6

12

VC1-B1D1E=

1

3

×

1

2

×

6

6

=

6

36

∴多面体的体积为

6

18

+

6

12

+

6

36

=

6

6

故选 C

点评：本题以多面体为载体，考查几何体的体积，关键是将几何体进行分割，利用规则几何体的体积公式求解．