题目内容
【题目】以椭圆:
的中心
为圆心,
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆
的左顶点为
,左焦点为
,上顶点为
,且满足
,
.
(1)求椭圆及其“准圆”的方程;
(2)若椭圆的“准圆”的一条弦
与椭圆
交于
、
两点,试证明:当
时,弦
的长为定值.
【答案】(1),
;(2)证明见解析
【解析】
(1)根据求得
,再结合
可得
以及
,即可解出
,从而求出椭圆
及其“准圆”的方程;
(2)先由弦轴时,求出原点
到弦
的距离
,然后再证明弦
不垂直于
轴时,原点
到弦
的距离也为
,根据弦长公式即可得到
,即弦
的长为定值.
(1)设椭圆的左焦点
,
由得
,
又,即
,
且,所以
,
则所求的椭圆的方程为
,
椭圆的“准圆”方程为
.
(2)证明:①当弦轴时,交点
关于
轴对称,
又,则
,
可设,
得
,
此时原点到弦
的距离
;
②当弦不垂直于
轴时,设直线
的方程为
,
且与椭圆的交点
,
联列方程组,
代入消元得:,
由,
可得,
由得
,
即,所以
,
此时成立,
则原点到弦
的距离
,
综上得,原点到弦
的距离为
,则
,因此弦
的长为定值.
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