题目内容

【题目】以椭圆的中心为圆心,为半径的圆称为该椭圆的准圆”.设椭圆的左顶点为,左焦点为,上顶点为,且满足.

1)求椭圆及其准圆的方程;

2)若椭圆准圆的一条弦与椭圆交于两点,试证明:当时,弦的长为定值.

【答案】1;(2)证明见解析

【解析】

1)根据求得,再结合可得以及,即可解出,从而求出椭圆及其准圆的方程;

2)先由弦轴时,求出原点到弦的距离,然后再证明弦不垂直于轴时,原点到弦的距离也为,根据弦长公式即可得到,即弦的长为定值.

1)设椭圆的左焦点

,即

,所以

则所求的椭圆的方程为

椭圆准圆方程为.

2)证明:①当弦轴时,交点关于轴对称,

,则

可设

此时原点到弦的距离

②当弦不垂直于轴时,设直线的方程为

且与椭圆的交点

联列方程组

代入消元得:

可得

,所以

此时成立,

则原点到弦的距离

综上得,原点到弦的距离为,则,因此弦的长为定值.

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