Question

函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集为

1. A.
   {x|x＞0}
2. B.
   {x|x＜0}
3. C.
   {x|x＜-1，或x＞1}
4. D.
   {x|x＜-1，或0＜x＜1}

Answer 1

A
分析：构造函数g（x）=e^x•f（x）-e^x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集．
解答：令g（x）=e^x•f（x）-e^x，
则g′（x）=e^x•[f（x）+f′（x）-1]
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）＞0恒成立
即g（x）=e^x•f（x）-e^x在R上为增函数
又∵f（0）=2，∴g（0）=1
故g（x）=e^x•f（x）-e^x＞1的解集为{x|x＞0}
即不等式e^x•f（x）＞e^x+1的解集为{x|x＞0}
故选A
点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=e^x•f（x）-e^x，是解答的关键．