Question

(本小题14分) 已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1。
（1）求a，b，c的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤2；
（3）求证：曲线y=f（x）上不存在两个不同的点A，B，使过A， B两点的切线都垂直于直线AB。

Answer 1

（1），b=0
（2）因为，那么可以运用函数单调性放缩来得到解决问题。
（3）对于探索性试题的分析，假设存在，然后根据过A，B两点的切线平行，得到斜率相等，同时根据过A，B两点的切线都垂直于直线AB
，则斜率之积为-1，得到方程，通过方程无解说明假设不成立，进而得到证明。

试题分析：（1）函数是定义在R上的奇函数，
∴即对于恒成立，
∴b=0
∴
∵x=-1时，函数取极值1，∴3a+c=0，-a-c=1
解得：
（2）
＜0，∴

（3）设
∵过A，B两点的切线平行，
∴可得
∵，∴，则
由于过A点的切线垂直于直线AB，
∴
∴∵△=-12＜0
∴关于x₁的方程无解。
∴曲线上不存在两个不同的点A，B，过A，B两点的切线都垂直于直线AB
点评：运用导数研究函数的问题主要涉及到了函数的单调性和函数的极值以及最值问题，那么同时要熟练的掌握导数的几何意义表示切线方程。而对于不等式的恒成立问题，一般将其转换为分离参数的思想来求解不等式的成立，主要是通过最值来完成证明，属于中档题。