题目内容
【题目】已知椭圆C：
的左焦点为F（﹣1，0），离心率为
，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
【答案】
1；（Ⅱ）（
，0）
【解析】
（Ⅰ）由题意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e
，由此求出椭圆的方程．（II）设直线AB的方程为y＝k（x+1）（k≠0），联立方程，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0．由直线AB过椭圆的左焦点F，记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0），x1+x2
，x0
，垂直平分线NG的方程为y﹣y0
，由此能求出点G横坐标的取值范围．
（Ⅰ）由题意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e
解得：a
，b＝1
故椭圆的方程为：
1
（II）设直线AB的方程为y＝k（x+1）（k≠0），
与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0
∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根．
记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0）
则x1+x2
x0
垂直平分线NG的方程为y﹣y0，
令y＝0，得xG＝x0+ky0
．
∵k≠0，∴
0
∴点G横坐标的取值范围为（
，0）．
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