Question

14．设函数f（x）=lnx+ax²+bx（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）试讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，将a=1代入，求出f′（x）=0的根，从而求出函数的单调性，求出函数的极值；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，从而求出的单调性．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx+ax²+bx 的定义域为（0，+∞），f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$+b，
∵图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，
∴f′（1）=2a+b+1=0，b=-2a-1，
f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$-2a-1=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，
当a=1时，$f'（x）=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}=0，{x_1}=\frac{1}{2}，{x_2}=1$．
当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）单调增；
$\frac{1}{2}＜x＜1$时，f′（x）＜0，f（x）单调减；
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调增．
∴f（x）的极大值为$f（\frac{1}{2}）=-\frac{5}{4}-ln2$，f（x）的极小值为f（1）=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}-2a-1=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$．
∴a≤0时，x∈（0，1）f′（x）＞0，f（x）单调增，x∈（1，+∞）f′（x）＜0，f（x）单调减；
$0＜a＜\frac{1}{2}$时，x∈（0，1）f′（x）＞0，f（x）单调增，$x∈（1，\frac{1}{2a}）$f′（x）＜0，f（x）单调减，
$x∈（\frac{1}{2a}，+∞）$f′（x）＞0，f（x）单调增；
$a=\frac{1}{2}$时，x∈（0，+∞）f′（x）＞0，f（x）单调增；
$a＞\frac{1}{2}$时，$x∈（0，\frac{1}{2a}）$f′（x）＞0，f（x）单调增，$x∈（\frac{1}{2a}，1）$f′（x）＜0，f（x）单调减，
x∈（1，+∞）f′（x）＞0，f（x）单调增．

点评 本题考查了函数的单调性，考察导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．