Question

7．求函数y=1og₂sin（2x+$\frac{π}{4}$）的单调递增区间和单调递减区间．

Answer 1

分析 先确定函数的定义域，再利用三角函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：由sin（2x+$\frac{π}{4}$）＞0可得2kπ＜2x+$\frac{π}{4}$＜π+2kπ
∴kπ-$\frac{π}{8}$＜x＜kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z
∵y=1og₂t在（0，+∞）上单调递减
∴函数y=1og₂sin（2x+$\frac{π}{4}$）的单调递减区间即为t=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的递减区间，单调递增区间，即为t=sin（2x+$\frac{π}{4}$）单调递增区间，
而函数t=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z），单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]（k∈Z）
∴函数y=1og₂sin（2x+$\frac{π}{4}$）的单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法．解题时注意复合函数的单调性原则的应用，更要注意不要漏掉了对数真数大于0的考虑．