Question

已知圆O：x²+y²=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线l：x=-4为准线的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M是直线l上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且，试求此时弦PQ的长．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K方程为，与圆O：x²+y²=8联立消去x²，y²，能够证明直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则，由，知（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），由此入手能够求出弦PQ的长．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则：
，从而：，故b=2，所以椭圆的标准方程为．（3分）
（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K方程为与圆O：x²+y²=8联立消去x²，y²得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）．（7分）
（Ⅲ）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则，①
∵，∴（x₁+2，y₁）=3（-2-x₂，-y₂），即：，
代入①解得：（舍去正值），∴k_PQ=1，所以PQ：x-y+2=0，
从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离d=，
∴．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．