题目内容
【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD= 
，F是PB中点，E为BC上一点． 
（1）求证：AF⊥平面PBC；
（2）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．
【答案】
（1）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=PA=1，AD= 
，F是PB中点，
∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（ ，1，0），
=（0，1，-1）， 
=（ ，1，-1），F（0， 
， ），
=（0， ， ），
∵ 
=0， 
=0，
∴AF⊥PB，AF⊥PC，
∴AF⊥平面PBC．
（2）解：设BE=a，∴E（a，1，0）， 
=（a- ，1，0）， 
=（ ，0，-1），
设平面PDE的法向量 
=（x，y，z），
则 
，
取x=1，得 =（1， -a， ），
平面PCE的法向量为 =（0， ， ），
∵二面角C﹣PE﹣D为45°，
∴cos＜ , ＞= 
= 
，
解得a= 
，
∴当BE= 时，二面角C﹣PE﹣D为45°．
AF⊥平面PBC．
【解析】（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥平面PBC．（2）设BE=a，E（a，1，0求出平面PDE的法向量和平面PCE的法向量，利用向量法能求出当BE= 时，二面角C﹣PE﹣D为45°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．
