Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中， 是椭圆 的右顶点， 是上顶点， 是椭圆位于第三象限上的任一点，连接， 分别交坐标轴于， 两点．

（1）若点为左焦点且直线平分线段，求椭圆的离心率；

（2）求证：四边形的面积是定值．

Answer 1

【答案】(1) （2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据题意得可解出C点坐标，再得到 ，根据三点共线可得到离心率；（2）四边形的面积，根据点点距可求线段长度，即可求得面积表达式，进而求得定值。

解析：

（1）设椭圆焦距为，则， ，直线的方程为，

联立方程组 ，即，

所以，

又中点 ，因平分线段，所以， ， 三点共线，

则，所以，则 ，

所以．

（2）设，则直线的方程为，所以；

直线的方程为，所以；

所以， ，

因为，

则四边形的面积

，

所以四边形的面积是定值．