Question

2．已知函数f（x）=x³+ax²+x+1在（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）上单调递增，求a的范围．

Answer 1

分析 求出函数的导数，由题意可得f′（x）≥0在（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）上恒成立，即有2a≤（-3x）+$\frac{1}{-x}$，运用基本不等式求得右边的最小值即可得到a的取值范围．

解答 解：数f（x）=x³+ax²+x+1的导数为f′（x）=3x²+2ax+1，
由题意可得f′（x）≥0在（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$）上恒成立，
即有2a≤（-3x）+$\frac{1}{-x}$，
由于-$\frac{2}{3}$＜x＜-$\frac{1}{3}$，则$\frac{1}{3}$＜-x＜$\frac{2}{3}$，
则有（-3x）+$\frac{1}{-x}$≥2$\sqrt{（-3x）•\frac{1}{-x}}$=2$\sqrt{3}$，当且仅当-3x=$\frac{1}{-x}$，
即x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$∈（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），取得等号，即最小值2$\sqrt{3}$．
则有2a≤2$\sqrt{3}$，
即为a≤$\sqrt{3}$．
则a的取值范围为（-∞，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性，同时考查不等式的恒成立问题，注意运用基本不等式求最值，属于中档题．