Question

设抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（　　）

• A．y=x-1或y=-x+1
• B．y=

  3

  3

  （x-1）或 y=-

  3

  3

  （x-1）
• C．y=

  3

  （x-1）或 y=-

  3

  （x-1）
• D．y=

  2

  2

  （x-1）或 y=-

  2

  2

  （x-1）

Answer 1

分析：根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x-1），与抛物线方程联解消去x，得

k

4

y2-y-k=0．再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于y₁、y₂和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程．

解答：解：∵抛物线C方程为y²=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x-1）
由

y=k(x-1) y2=4x

消去x，得

k

4

y2-y-k=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4…（*）
∵|AF|=3|BF|，
∴y₁+3y₂=0，可得y₁=-3y₂，代入（*）得-2y₂=

4

k

且-3y₂²=-4，
消去y₂得k²=3，解之得k=±

3

∴直线l方程为y=

3

（x-1）或y=-

3

（x-1）
故选：C

点评：本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．