题目内容
【题目】定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界,已知函数.
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在上是以4为上界的有界函数,求实数的取值范围.
【答案】(1)值域为,不是有界函数;(2).
【解析】试题分析:(1)把代入函数的表达式,得出函数的单调区间,结合有界函数的定义进行判断;(2)由题意知,对恒成立,令,对恒成立,设,,求出单调区间,得到函数的最值,从而求出的值.
试题解析:(1)当时,,令,∵,∴,;∵在上单调递增,∴,即在上的值域为,故不存在常数,使成立.∴函数在上不是有界函数.
(2)由题意知,对恒成立,即:,令,∵,∴.∴对恒成立,∴,设,,由,由于在上递增,在上递减,在上的最大值为,在上的最小值为,∴实数的取值范围为.
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