Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

2

2

，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

2

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程及焦距，根据过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

2

，表示出右焦点的坐标，代入椭圆方程，再根据离心率的公式得到c与a的比值也代入椭圆方程，化简后求出b的值，根据c与a的比值及椭圆的简单性质即可求出c与a的值，把a与b的值代入所设的椭圆方程确定出解析式；
（2）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程及P与Q的坐标，把设出的方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，且表示出两纵坐标之积，把表示出的两根之和与两根之积代入化简，由两向量垂直时满足的数量积为0列出关系式，把求出的两根之积与两纵坐标之积代入即可用k表示出m，然后利用点到直线的距离公式表示出O到直线l的距离d，把表示出的m代入即可求出d的值；当直线l的斜率不存在时，因为

OP

⊥

OQ

，根据椭圆的对称性，设直线OP，OQ的方程，求出P与Q的坐标，求出此时原点O到直线l的距离，与d相等，综上，O到直线l的距离为定值，且定值为求出的d．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距为2c，
∵e=

c

a

=

2

2

，且根据题意可知：点（c，

2

2

）在椭圆上，
∴

c2

a2

+

1 2

b2

=1，则

1

2

+

1 2

b2

=1，解得b=1，
∵a=

2

c，且a²-c²=b²=1，则c=1，a=

2

，
故椭圆方程为：

x2

2

+y²=1；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-2k2

2k2+1

，
因为

OP

⊥

OQ

，所以x₁x₂+y₁y₂=

2m2-2

2k2+1

+

m2-2k2

2k2+1

=

3m2-2k2-2

2k2+1

=0，（10分）
即3m²-2k²-2=0，所以m²=

2k2+2

3

，（11分）
设原点O到直线l的距离为d，则d=

|m|

k2+1

=

m2 k2+1

=

2k2+2 3 k2+1

=

6

3

，（12分）
当直线l的斜率不存在时，因为

OP

⊥

OQ

，根据椭圆的对称性，
不妨设直线OP，OQ的方程分别为y=x，y=-x，
可得P（

6

3

，

6

3

），Q（

6

3

，-

6

3

）或P（-

6

3

，-

6

3

），Q（-

6

3

，

6

3

），
此时，原点O到直线l的距离仍为

6

3

，
综上，点O到直线l的距离为定值

6

3

．（14分）

点评：本题考查利用待定系数法求椭圆的方程，考查了分类讨论及整体代入的数学思想．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，点到直线的距离公式及平面向量的数量积的运算法则进行求解．