Question

函数f（x）的定义域为（0，+∞），并满足以下条件：
①对任意的x＞0，y＞0，有f（xy）=f（x）+f（y）； ②x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（3）若x满足f(

1

2

)≤f(x)≤f(2)，求函数y=2x+

1

x

的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）赋值法：令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得；
（2）利用单调性定义：设x₁＞x₂＞0，则f(x1)=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)＞f(x2)，由此可判断单调性；
（3）先根据单调性求出x的范围，然后判断y=2x+

1

x

的单调性，根据单调性即可求得其最值．

解答：解：（1）令x=y=1，则由①，有f（1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
（2）设x₁，x₂是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＞x₂＞0，
则

x1

x2

＞1，则f(

x1

x2

)＞0，
于是有f(x1)=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)+f(x2)＞f(x2)，
即f（x₁）＞f（x₂）．
则由函数单调性的定义知，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）由（2）及f(

1

2

)≤f(x)≤f(2)知，

1

2

≤x≤2，
于是y=2x+

1

x

=2(x+

1 2

x

)在[

1

2

，

2

2

]上单调递减，在[

2

2

，2]上单调递增，
f(

1

2

)=3，f(2)=

9

2

，
因此最大值为x=2时，y=

9

2

，
最小值为x=

2

2

时，y=2

2

，
综上所述，y=2x+

1

x

的最大值为

9

2

，最小值为2

2

．

点评：本题考查抽象函数的单调性、最值问题，关于抽象函数的单调性一般采用定义判断．