题目内容

如图,在梯形中,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段EF上.

(1)求异面直线所成的角;
(2)求二面角的余弦值.

(1)900;(2).

解析试题分析:(1)要求异面直线所成的角,可转化为求其中一条直线与另外一直线的平行线所成的角的大小;(2)法一:利用几何法,求二面角需要先找出二面角的平面角,再在平面角所在的三角形中根据边长由余弦定理求平面角的余弦值,即二面角的余弦值;法二:利用向量法,首先建立直角坐标系,写出所需各点的坐标以及向量的坐标,再设出二面角所在两个面的法向量,利用向量垂直求出法向量的一组值,求两个法向量的夹角的余弦值,从而得二面角的余弦值.
试题解析:(1)在梯形ABCD中,∵,
∴四边形ABCD是等腰梯形,且
,∴
又∵平面平面ABCD,交线为AC,∴平面ACFE. ∴平面FE.
∴异面直线所成的角为900                              7分
(2)方法一;(几何法)取EF中点G,EB中点H,连结DG、GH、DH,
∵容易证得DE=DF,∴
平面ACFE,∴ 又∵,∴
又∵,∴
是二面角B—EF—D的平面角.
在△BDE中
,
∴在△DGH中,
由余弦定理得即二面角B—EF—D的平面角余弦值为.   15分
方法二;(向量法)以C为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,

,,,,
所以,,
分别设平面BEF与平面DEF的法向量为
,
所以,令,则
,显然,令
所以,,设二面角的平面角为为锐角
所以     15分
考点:1、异面直线所成的角;2、二面角;3、面面垂直的性质定理;4、余弦定理.

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