Question

14．已知a＞b＞0，椭圆C₁的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线C₂的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，C₁与C₂的离心率之积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则双曲线C₂的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求出双曲线C₂的离心率．

解答 解：a＞b＞0，椭圆C₁的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
∴C₁的离心率为：$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$，
双曲线C₂的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，
∴C₂的离心率为：$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}{a}$，
∵C₁与C₂的离心率之积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$•$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴（$\frac{b}{a}$）²=$\frac{1}{2}$，即$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则C₂的离心率：$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选：D

点评 本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率的求法，基本知识的考查，难度中档．