Question

4．已知直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）当α=$\frac{π}{4}$时，求直线L与圆C交点的中点坐标；
（2）证明：直线L与圆C相交，并求最短弦的长度．

Answer 1

分析 （1）先求出当α=$\frac{π}{4}$，直线L为：y=x-1，圆C：x²+y²=4，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²-2x-3=0，利用韦达定理能求出直线L与圆C交点的中点坐标为（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）．
（2）直线L过定点P（1，0），圆C是圆心C（0，0），半径r=2的圆，由|PC|=1＜2=r，能证明直线L与圆C相交．当相交弦与PC垂直时，相交弦最短．

解答 解：（1）∵直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
∴$\frac{y}{x-1}$=tanα，
当α=$\frac{π}{4}$，直线L为：y=x-1，
∵圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），∴x²+y²=4，
∴圆C是圆心C（0，0），半径r=2的圆，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²-2x-3=0，
直线L与圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=1，y₁+y₂=（x₁-1）+（x₂-1）=1-2=-1，
∴直线L与圆C交点的中点坐标为（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）．
证明：（2）∵直线L：$\frac{y}{x-1}$=tanα，∴直线L过定点P（1，0），
∵圆C是圆心C（0，0），半径r=2的圆，
∴|PC|=1，∵|PC|=1＜2=r，
∴直线L与圆C相交．
当相交弦与PC垂直时，相交弦最短，
∴最短弦的长度d_min=2$\sqrt{{r}^{2}-|PC{|}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆相交弦中点坐标的求法，考查直线与圆垂直的证明，考查相交弦最短时其长度的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．