题目内容
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900.
M为AB的中点

(1)求证:BC//平面PMD
(2)求证:PC⊥BC;
(3)求点A到平面PBC的距离.
M为AB的中点

(1)求证:BC//平面PMD
(2)求证:PC⊥BC;
(3)求点A到平面PBC的距离.
(1)因为PD⊥平面ABCD,BC
平面ABCD,所以PD⊥BC.
由∠BCD=900,得BC⊥DC.又
,
平面PCD,
平面PCD,所以BC⊥平面PCD.
因为
平面PCD,所以PC⊥BC.
(2)如图,连结AC.设点A到平面PBC的距离h.

因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900.
从而由AB=2,BC=1,得
的面积
.
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥
的体积
因为PD⊥平面ABCD,DC
平面ABCD,所以PD⊥DC. 又PD=DC=1,所以
.
由PC⊥BC,BC=1,得
的面积
.由
,得
.
因此点A到平面PBC的距离为
.

由∠BCD=900,得BC⊥DC.又



因为

(2)如图,连结AC.设点A到平面PBC的距离h.

因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900.
从而由AB=2,BC=1,得


由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥


因为PD⊥平面ABCD,DC


由PC⊥BC,BC=1,得




因此点A到平面PBC的距离为

略

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