Question

【题目】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn ， 向量 =（Sn ， an+1）， =（an+1，4）（n∈N*），且 ∥
（1）求{an}的通项公式
（2）设f（n）= bn=f（2n+4），求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（Sn，an+1）， =（an+1，4）（n∈N*），且 ∥ ，

∴Sn= + an+ ，

∴当n≥2时，Sn﹣1= + an﹣1+ ，

两式相减得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵数列{an}的各项均为正数，

∴当n≥2时，an﹣an﹣1=2，即数列{an}是公差为2的等差数列，

又∵a1=S1= + a1+ ，解得：a1=1，

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

（2）解：依题意，b1=f（6）=f（3）=a2=5，

b2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1，

当n≥3时，bn=f（2n+4）=…=f（2n﹣2+1）=2（2n﹣2+1）﹣1=2n﹣1+1，

故n≥3时，Tn=5+1+（22+1）+…+f（2n﹣1+1）

=6+ +（n﹣2）

=2n+n，

综上可知Tn=

【解析】（1）通过 ∥ 可知Sn= + an+ ，进而与Sn﹣1= + an﹣1+ （n≥2）作差、整理可知数列{an}是公差为2的等差数列，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知b1=a2=5、b2=a1=1，当n≥3时bn=2n﹣1+1，整理即得结论．
【考点精析】掌握数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．