题目内容

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)
(Ⅰ)当b>0时,判断函数fn(x)在(0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(
1
2
,1)
内存在唯一的零点;
(Ⅲ)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围.
(Ⅰ)∵fn(x)=xn+bx+c
fn′(x)=nxn-1+b
∵b>0,x>0,n∈N+
∴fn′(x)>0
∴函数fn(x)在(0,+∞)上的单调递增;
(Ⅱ)证明:由n>2,b=1,c=-1,得fn(x)=xn+x-1
∴fn′(x)=nxn-1+1>0在(
1
2
,1)
上恒成立,
∴fn(x)=xn+x-1在(
1
2
,1)
单调递增,
∵fn(1)=1>0,fn
1
2
)=(
1
2
)n-
1
2
<0,
∴fn(x)在区间(
1
2
,1)
内存在唯一的零点;
(Ⅲ)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c
①当b≥2或b≤-2时,即-
b
2
≤-1或-
b
2
≥1,此时只需满足|f2(1)-f2(-1)|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2,即b=±2;
②当0≤b<2时,即-1<-
b
2
≤0,此时只需满足f2(1)-f2(-
b
2
)≤4,即b2+4b-12≤0
解得:-6≤b≤2,即b∈[0,2)
③当-2<b<0时,即0<-
b
2
<1,此时只需满足f2(-1)-f2(-
b
2
)≤4,即b2-4b-12≤0
解得:-2≤b≤6,即b∈(-2,0)
综上所述:b∈[-2,2].
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