题目内容
【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)求函数的零点和极值;
(3)若对任意,都有
成立,求实数
的最小值.
【答案】(1);(2)零点
,极小值
;(3)1.
【解析】分析:(1)求出导函数,切线切线方程为
,化简即可;
(2)由得极值点,讨论极值点两边
的正负,得极值;
(3)求出在
上的最小值和最大值,由最大值-最小值
求得
,可结合要求
的最小值,讨论
的单调性及最值.
详解:(1)因为,所以
.
因为,所以曲线
在
处的切线方程为
.
(2)令,解得
,
所以的零点为
.
由解得
,
则及
的情况如下:
2 | |||
- | 0 | + |
所以函数在
时,取得极小值
.
(3)法一:
当时,
.
当时,
.
若,由(2)可知
的最小值为
,
的最大值为
,
所以“对任意,有
恒成立”等价于
即, 解得
. 所以
的最小值为1.
法二:当时,
. 当
时,
.
且由(2)可知,的最小值为
,
若,令
,则
而,不符合要求,
所以. 当
时,
,
,
所以,即
满足要求,
综上,的最小值为1.
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