Question

15．已知数列{a_n}的首项a₁=5，前n项和为Sn，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），变形为S_n+1+n+7=2（S_n+n+6），利用等比数列的通项公式可得：S_n，再利用递推关系可得a_n．
（II）b_n=na_n=3n×2ⁿ-n，令数列{n×2ⁿ}的前n项和为A_n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得A_n．即可得出．

解答 解：（I）由S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），变形为S_n+1+n+7=2（S_n+n+6），
∴数列{S_n+n+6}是等比数列，首项为12，公比为2．
∴S_n+n+6=12×2^n-1=3×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=3×2ⁿ⁺¹-n-6，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×2ⁿ⁺¹-n-6-[3×2ⁿ-（n-1）-6]=3×2ⁿ-1，
当n=1时也成立，
∴a_n=3×2ⁿ-1．
（II）b_n=na_n=3n×2ⁿ-n，
令数列{n×2ⁿ}的前n项和为A_n，
则A_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=（3n-3）•2ⁿ⁺¹+6-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．