题目内容
(本题满分15分 )已知函数.
(1)求函数的最大值;
(2)若,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,求证:.
(1)求函数的最大值;
(2)若,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,求证:.
(1)在处取得最大值,且最大值为0.(2). (3)见解析。
(1)先求出,然后求导确定单调区间,极值,最值即可.
(2)本小题转化为在上恒成立,进一步转化为,然后构造函数,利用导数研究出h(x)的最大值,再利用基础不等式可知,从而可知a的取值范围.
(1),则.…………2分
当时,,则在上单调递增;
当时,,则在上单调递减,
所以,在处取得最大值,且最大值为0. ………………………4分
(2)由条件得在上恒成立. ………………………6分
设,则.
当时,;当时,,所以,.
要使恒成立,必须. ………………………8分
另一方面,当时,,要使恒成立,必须.
所以,满足条件的的取值范围是. ………………………10分
(3)当时,不等式等价于.……12
令,设,则,
在上单调递增,,
所以,原不等式成立. ………………15分
(2)本小题转化为在上恒成立,进一步转化为,然后构造函数,利用导数研究出h(x)的最大值,再利用基础不等式可知,从而可知a的取值范围.
(1),则.…………2分
当时,,则在上单调递增;
当时,,则在上单调递减,
所以,在处取得最大值,且最大值为0. ………………………4分
(2)由条件得在上恒成立. ………………………6分
设,则.
当时,;当时,,所以,.
要使恒成立,必须. ………………………8分
另一方面,当时,,要使恒成立,必须.
所以,满足条件的的取值范围是. ………………………10分
(3)当时,不等式等价于.……12
令,设,则,
在上单调递增,,
所以,原不等式成立. ………………15分
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