题目内容
【题目】如图所示,是正三角形,线段
和
都垂直于平面
,设
,
,且
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求证:;
(3)求平面与平面
所成的较小二面角的大小.
【答案】(1)见证明(2)见证明
【解析】
(1)利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明;(2)利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明;(3)延长ED交AC延长线于G′,连BG′,只要证明BG′⊥平面ABE即可得到∠ABE为所求的平面BDE与平面ABC所成二面角,在等腰直角三角形ABE中即可得到.
(1)如图所示,取的中点
,连接
、
.
∵,
,
∴.
又,
∴.
∴四边形为平行四边形.
故.
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
(2)∵平面
,∴
.
又是正三角形,∴
.
∴平面
.
又∵,∴
平面
.
∴平面平面
.
∵,
,∴
.
∴平面
,∴
.
(3)延长交
的延长线于
,连
.
由,
知,
为
的中点,
又为
的中点,
∴.
又平面
,
,
∴平面
.
∴为所求二面角的平面角.
在等腰直角三角形中,易求
.
故所求二面角的大小为.
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