题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,设向量,
,其中
为
的两个内角.
(1)若,求证:
为直角;
(2)若,求证:
为锐角.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)借助平面向量的坐标形式的数量积公式建立方程,然后运用诱导公式分析推证;(2)借助平面向量的坐标形式的数量积公式建立方程
,即
,也即
然后运用两角和的正切公式分析推证
,即
:
(1)易得,
因为,所以
,即
.
因为,且函数
在
内是单调减函数,
所以,即
为直角.
(2)因为,所以
,
即.
因为是三角形内角,所以
,
于是,因而
中恰有一个是钝角,∴
,
从而,
所以,即证
为锐角
注:(2)解得后,得
与
异号,
若,
则
于是,在中,有两个钝角
和
,这与三角形内角和定理矛盾,不可能
于是必有,即证
为锐角
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