Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数，
（1）求a的值；
（2）试判断f（x）在（﹣∞，+∞）的单调性，并请你用函数单调性的定义给予证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＜0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵定义域为R的函数f（x）= 是奇函数，

∴f（﹣x）= = =﹣f（x）= ，

∴a×2x+2=a+2x+1，

解得a=2．

检验：a=2时，f（x）= ，

∴f（﹣x）= = ，

∴f（x）+f（﹣x）=0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．

∴当函数f（x）= 是奇函数时，a的值为2

（2）解：由（1）知 ，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递减函数．

证明如下：

令2x=t，则y= = =﹣ （1﹣ ）=﹣ ，

在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，

∵t=2x在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴0＜t1＜t2，

∴y1﹣y2=（﹣ ）﹣（﹣ ）= = ，

∵0＜t1＜t2，∴t2﹣t1＞0，t1+1＞0，t2+1＞0，

∴y1﹣y2＞0，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递减函数

（3）解：∵f（x）是奇函数，

∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＜0恒成立，等价于不等式f（mt2+1）＜f（mt﹣1）恒成立，

∵f（x）在R上是减函数，

∴对任意的t∈R，mt2+1＞mt﹣1恒成立，

整理，得：mt2﹣mt+2＞0对任意的t∈R恒成立，

当m=0时，不等式为2＞0恒成立，符合题意；

当m≠0时， ，解得0＜m＜8．

综上，实数m的取值范围为[0，8）

【解析】（1）由奇函数性质得f（﹣x）= =﹣f（x）= ，由此能求出a的值．（2） ，在（﹣∞，+∞）上是单调递减函数．令2x=t，由定义法能证明f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递减函数．（3）不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＜0恒成立，等价于不等式f（mt2+1）＜f（mt﹣1）恒成立，由f（x）在R上是减函数，得对任意的t∈R，mt2+1＞mt﹣1恒成立，由此能求出实数m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．