Question

球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1

6

，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（　　）

• A、4

  3

• B、2

  3

• C、2
• D、

  3

Answer 1

分析：解法一：利用大小排除，
解法二：这三个点满足等边三角形，即可求解角的大小，进而求解R，
解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故可以得到高，D是BC的中点．
在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．

解答：解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，
则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=

π

3

，
OA=OC知OA=AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜边，
故OA＞O′A．所以O′A＜OA＜2O′A．因为OA=R，所以2＜R＜4．
因此，排除A、C、D，得B．
解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=2

3

．
因为∠AOB=θ=

π

3

，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=2

3

．
解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=

3

2

r=3，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

3

，所以BC=BO=R，BD=

1

2

BC=

1

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=

1

4

R²+9，所以R=2

3

．
故选B．

点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是基础题．