Question

2．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{2y-x≤2}\end{array}\right.$，目标函数z=mx+y（m∈R）．
（1）若z取得最小值的最优解有无数个，则m=-2或1；
（2）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围是-2＜m＜1．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域．
（1）要使z取得最小值的最优解有无数个，可知直线y=-mx+z与y=2x-1或y=-x+2重合，由此求得m的值；
（2）数形结合直接得到-1＜-m＜2，则m的取值范围可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{2y-x≤2}\end{array}\right.$作出可行域如图，

（1）化目标函数z=mx+y为y=-mx+z，由图可知，当直线y=-mx+z与y=2x-1或y=-x+2重合时，
直线y=-mx+z在y轴上的截距最小，满足z取得最小值的最优解有无数个，此时-m=2或-m=-1，即m=-2或m=1；
（2）若z仅在点A（1，1）处取得最小值，则-1＜-m＜2，即-2＜m＜1．
故答案为：（1）-2或1；（2）-2＜m＜1．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属中档题．