Question

函数f(x)=x+

1

x

的图象为C₁，C₁关于点A（2，1）的对称图形为C₂，C₂对应的函数为g（x）：
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若直线y=b与C₂只有一个公共点，求b的值及交点坐标．

Answer 1

分析：（1）先设g（x）图象任一点P（x，y）以及P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'），根据点关于点对称的性质，用p的坐标表示P'的坐标，再把P'的坐标代入f（x）的解析式进行整理，求出g（x）解析式；
（2）需要对x进行分类后，利用基本不等式求出函数g（x）的最值，再由条件和等号取到的条件求出b的值和交点的坐标．

解答：解：（1）函数g（x）图象任一点P（x，y），且P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'），
则

x+x′ 2 =2 y+y′ 2 =1

，解得

x′=4-x y′=2-y

，
∵点P'在函数f(x)=x+

1

x

的图象上，∴2-y=(4-x)+

1

(4-x)

，
即g（x）=(x-4)+

1

(x-4)

+2．

（2）当x-4＞0时，即x＞4，(x-4)+

1

(x-4)

≥2，当且仅当x=5时取到等号，
此时g（x）取到最小值4，
∵直线y=b与C₂只有一个公共点，∴b=4，且交点坐标是（5，4）；
当x-4＜0时，即x＜4，-[(x-4)+

1

(x-4)

]≥2，即(x-4)+

1

(x-4)

≤-2，
此时g（x）取到最大值0，当且仅当x=3时取到等号
∵直线y=b与C₂只有一个公共点，∴b=0，且交点坐标是（3，0）；
综上，b的值及交点坐标分别为4，（5，4）或0，（3，0）．

点评：本题是有关函数的综合题，考查了用代入法求函数的解析式，利用点关于点对称的性质，还利用基本不等式求出函数的最值，注意基本不等式的使用条件，考查了分类讨论思想．