Question

有如下四个命题：
①命题“有的三角形是直角三角形”的否定为“所有的三角形都不是直角三角形”；
②为了得到函数y=sin（2x-

π

3

）的图象，只需把函数y=sin（2x+

π

6

）的图象向右平移

π

4

个长度单位；
③过抛物线y²=4x的焦点F作直线交抛物线与A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=4则弦长|AB|的值为6
④双曲线的渐近线为y=±

3

4

x，则双曲线的离心率为

5

4

；
其中真命题的序号为

①②③

．

Answer 1

分析：根据含有量词的命题的否定，得到①正确；根据函数图象平移的公式，得到②正确；根据抛物线的定义与标准方程，算出当x₁+x₂=4时，焦点弦的长|AB|=6，得③正确；根据双曲线的焦点不一定在x轴上，可得当渐近线为y=±

3

4

x时双曲线的离心率为

5

4

或

5

3

，故④不正确．

解答：解：对于①，根据含有量词的命题的否定，可得命题“有的三角形是直角三角形”
的否定为“所有的三角形都不是直角三角形”，故①正确；
对于②，把函数y=sin（2x+

π

6

）的图象向右平移

π

4

个长度单位，
得到y=sin[2（x-

π

4

）+

π

6

]=sin（2x-

π

3

）的图象，所以②正确；
对于③，抛物线y²=4x的准线为x=-1，因此抛物线上A（x₁，y₁）到准线的距离为x₁+1
结合抛物线的定义可得A到焦点的距离等于x₁+1，同理B到焦点的距离等于x₂+1，
因此，A、B到焦点的距离之和等于x₁+x₂+2，
结合题意AB经过焦点且x₁+x₂=4，得弦长|AB|=6，故③正确；
对于④，双曲线的渐近线为y=±

3

4

x，则

b

a

=

3

4

或

a

b

=

3

4

，
因此双曲线的离心率为

5

4

或

5

3

，故④不正确
故答案为：①②③

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数图象平移公式、三角函数的图象与性质、抛物线的定义、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．