Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，点为椭圆上的一个动点，面积的最大值为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于两点，直线，与轴分别相交于两点，试问是否为定值？如果，求出这个定值；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意得到关于b,c的方程组，求解方程组结合椭圆的性质可得，则椭圆的标准方程为．

（2）设直线的y轴截距式方程：，结合直线方程可得，． 联立直线方程与椭圆方程有，结合韦达定理可得，则为定值.

试题解析：

（1）由题意知，当点是椭圆的上、下顶点时，的面积最大，

此时的面积，①

又椭圆的离心率，②

由①②得：，

所以，椭圆的标准方程为．

（2）设直线的方程为，则

直线的方程为，则，即，

同理可得．

由得，

由得且，

所以

，

故为定值．