Question

已知函数f(x)＝4x³－3x²cosθ＋，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤2π．
(1)当时，判断函数f(x)是否有极值；
(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2A－1，A)内都是增函数，求实数A的取值范围．

Answer 1

(1) 无极值；(2) θ的取值范围为；(3) A的取值范围是．

解析试题分析：(1)由题得f(x)＝4x³ ，由幂函数性质知，在R上为增函数，无极值；(2)对原函数求导且令，解得或，当时，可求得极小值，令得，当，所求极小值不会小于零，可得范围；(3) 函数f(x)在区间(2A－1，A)内都是增函数，则A需满足不等式组或，解得的范围．
解：(1)当时，f(x)＝4x³，则f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，故无极值．  2分
(2)f′(x)＝12x²－6xcosθ，
令f′(x)＝0，得x₁＝0，．  3分
当时，容易判断f(x)在(－∞，0]，上是增函数，在上是减函数，
故f(x)在处取得极小值  5分
由，即，可得．
由于0≤θ≤2π，故或．  7分
同理，可知当时，f(x)在x＝0处取得极小值，此时，当f(0)>0时，，与相矛盾，所以当时，f(x)的极小值不会大于零．
综上，要使函数f(x)在(－∞，＋∞)的极小值大于零，θ的取值范围为．  9分
(3)由(2)，知函数f(x)在区间(－∞，0]与 内都是增函数，由题设：函数在(2A－1，A)内是增函数，则A需满足不等式组或 (其中θ∈时，)．  12分
从而可以解得A≤0或，
即A的取值范围是．  14分
考点：函数的极值，由三角函数求角的范围，函数的单调性．