题目内容
某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；考生李翔的笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？
（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为
，求的分布列和数学期望．
| 组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
| 第一组 | [160,165) | 5 | 0.05 |
| 第二组 | [165,170) | 35 | 0.35 |
| 第三组 | [170,175) | 30 | a |
| 第四组 | [175,180) | b | 0.2 |
| 第五组 | [180,185) | 10 | 0.1 |
的值； （Ⅱ）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；考生李翔的笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？
（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为
，求的分布列和数学期望．（Ⅰ）
，
；（Ⅱ）公平；（Ⅲ）
，；（Ⅱ）公平；（Ⅲ） | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |  |  |  |  |
试题分析：（Ⅰ）由频率分布表中各组频率之和为1可求
；总的频数为100可求
；（Ⅱ）按照随机抽样的原则可知方法公平；（Ⅲ）按照分布列的取值情况求对应的概率即可.试题解析：（Ⅰ）由题意知，
组频率总和为
，故第
组频率为
，所以 2分总的频数为
，因此第
组的频数为
，即 4分（Ⅱ）第
组共
名学生，现抽取
人，因此第组抽取的人数为：
人，第
组抽取的人数为：
人，第组抽取的人数为：
人 7分公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取
人，每个人被抽到的概率是相同的 8分（只写“公平”二字，不写理由，不给分）
（Ⅲ）
的可能取值为
的分布列为： | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | | | | |
12分
练习册系列答案
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三种排量的汽车，其中
种排量汽车的概率；
，求
的分布列及数学期望．
．
，乙的命中率为P2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．
，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
.且
.
，求随机变量
.
表示这两人请假次数之和，记“函数
在区间
上有且只有一个零点”为事件
，求事件
；
表示这两人请假次数之差的绝对值，求随机变量
.
，求
，且
,
，则