Question

已知长方形ABCD, AB=2, BC=1. 以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.

(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点

解析:

(Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.……1分

设椭圆的标准方程是.……2分

则……4分

.……5分

椭圆的标准方程是……6分

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.……7分

设M,N两点的坐标分别为

联立方程: 

消去整理得,

有……9分

若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,……10分

所以,,

即

所以,

即……11分   得……12分

所以直线的方程为,或.……13分

所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. ……14分