Question

如图，已知四边形OBCD是平行四边形，|OB|=2，|OD|=4，∠DOB=60°，直线x=t（0＜t＜4）分别交平行四边行两边于不同的两点M、N．
（1）求点C和D的坐标，分别写出OD、DC和BC所在直线方程；
（2）写出OMN的面积关于t的表达式s（t），并求当t为何值时s（t）有最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出得D、C的坐标，进而利用直线方程的四种形式即可求出；
（2）先写出△OMN的解析式，进而即可得出其最大值．

解答：解：（1）设点D（x，y），则x=|OD|cos60°=4×

1

2

=2，y=|OD|sin60°=2

3

，∴点D(2，2

3

)．
∴点C的横坐标=2+2=4，纵坐标=2

3

，即C(4，2

3

)．
①∵kOD=tan60°=

3

，∴直线OD的方程为y=

3

x；
②∵BC∥OD，∴kBC=kOD=

3

，根据点斜式得直线BC的方程为y=

3

(x-2)，即y=

3

x-2

3

；
③∵DC∥x轴，且点D的纵坐标为2

3

，
∴直线DC的直线方程为y=2

3

．
（2）由题意作出图形．
①当0＜t≤2时，s（t）=S_△OMN=

1

2

t×

3

t=

3

2

t2，可知当t=2时，s（t）取得最大值为

3

2

×22=2

3

，
∴0＜s(t)≤2

3

；
②当2＜t＜4时，联立

x=t y= 3 x-2 3

解得

x=t y= 3 t-2 3

，即N(t，

3

t-2

3

)，
又可知M(t，2

3

)，∴|MN|=2

3

-(

3

t-2

3

)=4

3

-

3

t．
∴s（t）=S_△OMN=

1

2

t×(4

3

-

3

t)=-

3

2

(t-2)2+2

3

．
∵函数s（t）在（2，4）上单调递减，
∴s（t）＜s（2）=2

3

．
综上可知：当t=2时，s（t0取得最大值2

3

．

点评：熟练掌握直线方程的四种形式和正确得出△OMN的面积的表达式是解题的关键．