题目内容
【题目】如图,已知平面平面
,B为线段
的中点,
,四边形
为正方形,平面
平面
,
,
,M为棱
的中点.
(1)若N为线段上的点,且直线
平面
,试确定点N的位置;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)N为的中点;(2)
.
【解析】
(1)根据线面平行的性质,得到线线平行,在同一个平面中,根据相似三角形,即可得到点的位置;
(2)以为坐标原点,以
为
轴建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,根据向量夹角的计算公式,即可求得结果.
(1)连接,∵直线
平面
,
平面
,
平面平面
,
又M为的中点,
为
的中位线,
∴N为的中点;
(2)设,则
,
,
又∵B为的中点,
.
,
又平面平面
,平面
平面
∴四边形
为平行四边形.
又,∴四边形
为菱形.
又,
,
,
,
,
,平面
平面
平面
,
,
,
,
两两互相垂直
∴以A为坐标原点,
分别以,
,
所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系
如下图所示:
依题意,得,
,
,
设平面的一个法向量
则有且
得:
且
令,得
,
故
又平面即为平面
平面的一个法向量
,
∴所求锐二面角的余弦值为:
.
即平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
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